A világ formája és az Abel-díj

Az idei évben John Nash és Louis Nirenberg vehette át a matematika Nobel-díjaként ismert kitüntetést a geometria területén végzett kiemelkedő munkájáért.

A világ formája és az Abel-díj

1. oldal

Az idei évben John Nash és Louis Nirenberg vehette át Oslóban a matematikai Nobel-díjként is emlegetett Abel-díjat. A kutatók a bizottság indoklása szerint „a nemlineáris parciális differenciálegyenletek elméletéhez való átütő és termékeny hozzájárulásukért és az elmélet geometriai elemzésekben való felhasználásáért” részesült az alig tíz éve létező, ám hatalmas presztízsű kitüntetésben. Az idei díjátadóhoz sajnos tragikus hír társul: Nash (86), és 82 éves felesége, Alicia május 23-án Norvégiából való megérkezésüket követően, a repülőtérről hazafelé tartva halálos balesetet szenvedett, amikor taxijuk egy félresikerült előzés után a szalagkorlátnak ütközött.

Nash neve és személye sokak számára ismerős lehet Sylvia Nasar Egy csodálatos elme című, angolul 1998-ban megjelent könyve, illetve az ebből készült 2001-es film nyomán, amely a zseniális matematikus fiatal, termékeny éveit, majd súlyosbodó mentális problémáit mutatja be. A film utolsó jelente az 1994-es közgazdasági Nobel-díj átadását idézi fel, amelyet Nash Harsányi Jánossal és Reinhard Seltennel megosztva vehetett át a játékelmélet területén végzett munkájáért.

A játékelmélet lényegileg olyan helyzetek matematikai leírásával foglalkozik, amelyekben két vagy több fél verseng egymással valamilyen cél elérése érdekében, legyen szó egy amőba-, vagy egy sakkjátszmáról, cégek piaci, vagy egész országok geopolitikai versengéséről, nem is beszélve a fajok evolúciós küzdelméről.

Meglepően rövid, mindössze 27 oldalas, ám annál tartalmasabb doktori értekezésében Nash a következő szituációt tanulmányozta: képzeljük el, hogy bizonyos számú játékos verseng egymással, és mind több saját stratégia közül válogathatnak, amelyekhez eltérő kifizetési érték társul, ahogy ez a való életben oly sokszor előfordul. Nash elmélete szerint minden hasonló, úgynevezett nem kooperatív játékban létezik legalább egy olyan egyéni stratégiákból összeálló stratégiaegyüttes, amely esetén utólag egyik játékosnak sem lesz megbánnivalója, vagyis ha a játék végén megtudja, hogy a többiek hogyan játszottak, akkor sem fog tudni olyan új stratégiát választani, amellyel jobban járt volna. Ezt a stratégiaegyüttest a játékelméletben azóta Nash-egyensúlyként emlegetik.

Nash (balra) és Nirenberg a norvég királytól vette át a díjat

Az elméletet korlátai ellenére máig rendszeresen alkalmazzák az üzleti stratégiák kidolgozása során, a való élet ugyanis meglepően sokszor hasonlít egy nem kooperatív játékra. Ha a fent említett szituációban néhány játékos összefogna, és közösen változtatnának stratégiájukon, elképzelhető, hogy mindannyiuk számára kedvezőbb végeredmény születne, tisztán a saját javukra koncentráló résztvevők esetén azonban a Nash-egyensúly megvalósítása jelentheti azt a megoldást, amellyel ha kiemelkedően jól nem is, de nagyon rosszul sem jár senki.

A New York Times-ban megjelent nekrológbanRoger Myerson, a Chicagói Egyetem közgazdásza a Nash-egyensúly közgazdaságtani jelentőségét ahhoz hasonlítja, ahogy a DNS felfedezése forradalmasította a biológiát. Ahogy azonban az első bekezdésben idézett indoklásból is kitűnik, Nash nem játékelméleti eredményeiért részesült az Abel-díjban. „Amit Nash a geometria területén művelt, az véleményem szerint messze meghaladja közgazdaságtani eredményeit” – mondja a matematikusról Mikhail Gromov, az Abel-díj egyik korábbi nyertese.

Hogy némi fogalmunk legyen arról, hogy miért is részesült a díjban Nash és Nirenberg, vissza kell nyúlnunk a geometria kezdeteihez. A szó első használata Hérodotosz, i. e. 5. századi görög történetíróhoz köthető, aki gyakorlatilag földmérés jelentésben használta azt, amikor arról írt, hogy az egyiptomiak hogyan számították ki a termékeny földterületek nagyságát. A görögök aztán komoly tudománnyá fejlesztették a geometriát, amelynek keretében a tér pontjainak, egyeneseinek és síkjainak viselkedésével kapcsolatos szabályszerűségeket fogalmazták meg. A geometria atyjaként is emlegetett Eukleidész például Elemek című művében többek közt igazolta, hogy a háromszög belső szögeinek összege minden esetben 180 fok.

A 19. század elején azonban a matematikusok új módokon kezdtek gondolkodni a térről, és rájöttek, hogy az eukleidészi geometria szabályai nem minden esetben működnek. Ha például azt a bizonyos háromszöget egy gömb külsejére rajzolják, a belső szögek összege több lesz 180 foknál, hiperbolikus (nyeregszerű) felületek esetében pedig ugyanez az összeg 180 foknál kevesebb lesz. A probléma megválaszolása érdekében a szakértők bevezették a görbület fogalmát.

2. oldal

Ha egy felület görbülete nulla, az teljesen sík, vagyis úgynevezett eukleidészi sík, amelyre érvényesek az eukleidészi geometria megállapításai. Pozitív görbületről az ilyen síkhoz képesti „kidomborodás”, például egy gömbfelület esetén beszélünk, negatív görbületről pedig ennek ellentéte esetén, vagyis ha eukleidészi sík helyett egyfajta mélyedéssel van dolgunk. Az eukleidészi szabályok sem negatív, sem pozitív görbület esetén nem működnek.

Előreszaladva az időben, napjainkban az eukleidészi mellett beszélhetünk szférikus és hiperbolikus síkok geometriájáról is, amelyek a felület görbületétől függően eltérő axiómákon alapulnak. Ha kívülről tekintünk egy felületre, többnyire könnyű dolgunk van annak megállapításában, hogy melyik típusú geometriát kell arra vonatkoztatni. De mi a helyzet akkor, ha a felületen tartózkodunk, és nem áll rendelkezésünkre olyan viszonyítási pont, például egy horizont mögött eltűnő hajó, amely segíthetne annak eldöntésében, hogy milyen világunk görbülete?

Carl Friedrich Gauss német matematikus volt az első, aki szabályokat fogalmazott meg a pozitív és negatív görbületű felszínekkel kapcsolatban, és felvetette a nemeukleidészi geometriák kidolgozásának lehetőségét. Ő volt továbbá az is, aki megállapította, hogy a görbület minden felület belső, helyileg megnyilvánuló jellegzetessége, amely minden pontra megállapítható az annak közvetlen környezetében végzett mérések alapján.

Ez különösen jelentős a szabályos térbeli idomok esetén, elég csak arra gondolni, hogy Eratoszthenész az i. e. 3. században Gausst messze megelőzve alkalmazta a német tudós által feltártakat, amikor a nyári napforduló idején egy árnyékot vető pózna segítségével lemérte Asszuán és Alexandria távolságát, ebből pedig a Földet gömb alakúnak feltételezve a bolygó kerületét. (Eredményének pontosságát sajnos utólagosan nehéz precízen meghatározni, mivel stadionhosszban adta meg a számadatokat, de a legrosszabb esetben is mindössze 15 százalékot tévedett a modern eszközökkel mérthez képest, ami sokkal jobb eredmény, mint amikkel a gömbölyű Föld eszméjét másfél évezreddel később újra felvető tudósok az első időkben előálltak.)

Gauss egyik tanítványa, Bernhard Riemann mestere munkássága nyomán aztán egy egészen újfajta geometriát dolgozott ki. A riemanni geometria síkjait kizárólag belső tulajdonságaik definiálják, vagyis olyan absztrakt felületekről van szó, amelyeket leírójuk nem képzel el kívülről, a térben létezőként, hanem gyakorlatilag csak ezen síkok bizonyos pontjairól körbenézve vizsgálja azokat.

Gauss és Riemann megállapításai kapcsán a következő felmerülő kérdésaz volt, hogy görbület, vagyis a felület belső tulajdonsága alapján meg lehet-e határozni annak alakját, vagyis lehet-e azt valós térbeli idomként realizálni. A problémát Hermann Weyl német matematikus fogalmazta meg 1916-ban, nagyjából a következőképpen: ha egy geometriai felület minden pontján pozitív görbülettel rendelkezik, ezen adatok alapján fel lehet-e vázolni azt háromdimenziós objektumként. A kérdésre a Nash-sel együtt Abel-díjat kapott Nirenberg adta meg a választ doktori dolgozatában: ha mindenütt lemérjük a felület görbületét, ezen adatok alapján ténylegesen rekonstruálhatjuk a térbeli idom teljes formáját.

John Nash pedig gyakorlatilag ezt a választ fejlesztette tovább. Ahogy már említettük, ami a síkok geometriáját illeti, háromféléről beszélhetünk (eukleidészi, szférikus, hiperbolikus), ahogy azonban emelkedik a tekintetbe vett dimenziók száma, a lehetséges geometriák száma is gyors növekedésnek indul. Nash gyakorlatilag azt bizonyította, hogy minden absztrakt (például riemanni) módon definiált felület belehajlítható és így realizálható az eukleidészi térben, bár időnként háromnál több dimenzióra van szükség ennek végrehajtásához. A behajlításból eredő hosszak ilyenkor pontosan az absztrakt hosszakkal fognak megegyezni.

Ennek a nagyon is bonyolultnak tetsző metódusnak olyan területeken van nagyon nagy jelentősége, mint a például a húrelmélet, amely rengeteg extra dimenzió létezését feltételezi. Nash munkássága lehetőséget nyújt a szakértőknek arra, hogy ezt a felfoghatatlanul bonyolult geometriát az eukleidészi térben modellezzék és tanulmányozzák, és érvényes megállapításokat vonjanak le ezen modellekből. Hasonló a helyzet Einstein relativitáselméletével is, amely azt állítja, hogy a téridő különleges, négydimenziós geometriával bír. Nash-nek köszönhetően azonban ez az emberi térfogalmakkal szintén nehezen értelmezhető rendszer egy magasabb dimenziójú eukleidészi térként képzelhető el, ami szintén elég bonyolultnak tűnik, valójában azonban jelentősen leegyszerűsíti a problémáról való gondolkodást.

Tesztek

{{ i }}
arrow_backward arrow_forward
{{ content.commentCount }}

{{ content.title }}

{{ content.lead }}
{{ content.rate }} %
{{ content.title }}
{{ totalTranslation }}
{{ orderNumber }}
{{ showMoreLabelTranslation }}
A komment írásához előbb jelentkezz be!
Még nem érkeztek hozzászólások ehhez a cikkhez!
Segíts másoknak, mond el mit gondolsz a cikkről.
{{ showMoreCountLabel }}

Kapcsolódó cikkek

Magazin címlap arrow_forward