A Michigani és a Connecticuti Egyetem nanotechnológiával foglalkozó kutatói új oldalról közelítettek meg egy ősrégi matematikai problémát: az először az ősi szanszkrit forrásokban felbukkanó térkitöltés (packing) problematikája azzal foglalkozik, hogy egy adott térrészt hogyan lehet egy adott objektummal, formával maximális sűrűségben kitölteni. Ennek megvalósítása során általában nem megengedett, hogy az elhelyezett tárgyak egymásba vagy a térrészt határoló falakba „belelógjanak” ‒ ez utóbbival inkább a letakarás (covering) foglalkozik.

A mostani kutatás során arra keresték a választ, hogyan lehet optimálisan kitölteni egy bizonyos objektum belsejét adott, nem feltétlenül egyforma méretű formákkal, olyan módon, hogy a formák egymásba belelóghatnak, takarhatják egymást, de a „doboz” falain nem nyúlhatnak túl. A filling problem, avagy megtöltési probléma esetében tehát egy háromszögletű forma kitöltése során az abba helyezett korongok egymást fedhetik, de a háromszög oldalait már nem.

A probléma felvetésén túl két dimenzióban egy megoldási lehetőséget is kínálnak a problémára a Sharon Glotzer vegyészmérnök vezette kutatók. Bármilyen hasonló problémánál a megoldás kulcsa a kitöltendő forma „vázának” megtalálása, mondja Carolyn Phillips. Ez a forma központi részén halad át, és olyan, mintha az alakzat gerince lenne: egy ötszög esetében például a központból csillagszerűen kinyúló vonalakat formál. A teret legjobban úgy lehet kitölteni, ha a kitöltő korongok középpontjait a váz vonalaira orientáljuk, folytatja a kutató. A vonalak kapcsolódási pontjait „csapdáknak” nevezték el a tudósok. Ilyen az ötszögben csak egy van, annak közepén. Minél bonyolultabb a kitöltendő forma, annál több ilyen csomópont, azaz csapda található a vázában. Optimális térkitöltésnél minden csapda egyben egy korong középpontja is. A többi kitöltő korong helyzete és mérete változhat az legjobb elrendezésben, de ezek a központi helyen levők mindig egyformák.

A Physical Review Letters oldalain megjelenő tanulmányukban a kutatók arról is beszámolnak, hogy milyen módon lehet megtalálni az ideális kitöltéshez szükséges korongok méreteit, és ezek elrendezését. A jövőben szándékukban egy algoritmus közzététele, amely a kitöltendő térrész és a korongok száma vagy a kitöltendő terület százaléka alapján megadja az alkalmazandó mintázatot.

A probléma megoldásának gyakorlati alkalmazási lehetőségei olyan területekre is kiterjednek, amelyekre elsőre nem is gondolnánk. A térbeli optimalizálással megoldható lehet, hogy egy WiFi-hálózat jelei csak egy adott épületen belül legyenek foghatók, de a parkolóban például már ne. Segíthet a robbantási szakértőknek épületek bontásakor a töltetek legcélszerűbb elhelyezésében, hogy azok megsemmisítsék a kívánt terület minden elemét, de hatásuk minimális legyen az épület falain túl.

A daganatos betegségek esetében a sugárkezelés is optimalizálható lehet a módszer alkalmazásával: kevesebb, de jobban célzott sugárral nagyobb hatást lehet majd elérni, vélik a kutatók. A metódus ezen kívül alkalmazható lehet a mikroelektronikai alkatrészek gyártásának felgyorsításában, a nanotechnológiában, a biológiában és még számtalan egyéb területen.