Mesébe illő áttörés az ikerprím-sejtés kapcsán

Egy szakmai körökben teljesen ismeretlennek számító kínai származású matematikus óriási lépést tett az Euklidész által 2300 éve megfogalmazott ikerprím-sejtés igazolása felé: bizonyította, hogy végtelen számú olyan prímszámpár létezik, amelyek különbsége kevesebb, mint 70 millió. 

Mesébe illő áttörés az ikerprím-sejtés kapcsán

1. oldal

2013. április 17-én egy érdekes tanulmány érkezett az egyik legprominensebb matematikai szaklap, a Princeton által kiadott Annals of Mathematics szerkesztőségébe. A szakmai körökben teljesen ismeretlennek számító szerző, Jitang Csang írása nem kevesebbet ígért, mint hogy jelentősen közelebb hozza egy több ezer éves matematikai probléma, az ikerprím-sejtés beigazolódását. A szerkesztők és a lektorok eleinte kétkedve fogadták a Durhamban található New Hampshire-i Egyetem professzorának állításait, de a tanulmány alaposabb átvizsgálása után kiderült, nagyon is komoly munkáról van szó, amely valóban hatalmas lépést jelenthet az Euklidész által i. e. 300 körül megfogalmazott sejtés bizonyításában. A tanulmány fontosságát az is jelzi, hogy mindössze három héttel beérkezése után elfogadták, és elvileg a lap következő számában már meg is jelenik, ami rekordgyorsaságnak számít nemcsak a matematikai szaklapok, de bármiféle lektorált folyóirat esetében.

A szerző személye azóta legalább annyira lázban tartja a szakmát, mint tanulmányának tudományos jelentősége. Csang 1992-ben doktorált, és csak nagyon nehezen tudott saját területén elhelyezkedni, olyannyira, hogy pár évig könyvelőként dolgozott, illetve egy ideig a Subway nevű szendvicseiről híres büféhálózat alkalmazásában is állt. „Gyakorlatilag senki sem ismeri” – mondta el Andrew Granville, a Montreali Egyetem számelméleti szakértője, aki szintén nagyon meglepőnek tartja, hogy valaki a „semmiből” előbukkanva ilyen komoly eredményt tudott letenni az asztalra.

Csang Harvardon tartott előadásából az is kiderült, hogy a matematikus nem valamiféle gyökeresen új megközelítésnek köszönheti eredményeit, hanem létező, mások által is kipróbált módszerek révén érte el ezeket. Granville elmondása szerint Csang sikere elsősorban kitartásának köszönhető, hiszen már más, hozzá képest sokkal jelentősebb szakértők is próbálkoztak ugyanezzel az útvonallal, mégsem jártak sikerrel.

A prímszámok évezredek óta foglalkoztatják a matematikusokat. Euklidész 2300 éve bizonyította, hogy végtelen sok van belőlük, és mint már említettük, ő fogalmazta meg a nevezetes ikerprím-sejtést is, amely szerint végtelen sok olyan p prímszám van, amire p+2 is prím (3, 5; 5,7; 11,13 stb.). Ez a sejtés a legrégibb megoldatlan matematikai problémák közé tartozik.

A prímszámok mennyisége végtelen ugyan, de egyre magasabb értékek felé haladva ritkuló sorozatot alkotnak. Míg első tíz pozitív egész szám 40 százaléka prím, a tízjegyű számok közt már csak 4 százalékot tesz ki a mennyiségük. Az elmúlt évszázadok során a kutatók rájöttek, hogy azon túl, hogy a szomszédos prímek közti átlagos különbség egyre nagyobb, ez a prímek számjegyeinek mennyiségével is arányos: a nagy számok esetében általában igaz, hogy két szomszédos prím között nagyjából a számjegyek 2,3-szorosa lesz a különbség. (Vagyis a százjegyű szomszédos prímek várható különbsége 230 körül alakul.) Ez azonban csak egy átlagérték, vannak ennél sokkal közelebb eső, és sokkal távolibb szomszédok is. Az ikerprímek különösen izgalmas szereplői ennek a leosztásnak, és bár gyakoriságuk a nagyobb számok felé haladva egyre csökken, úgy tűnik, hogy sosem tűnnek el teljesen.

A szakértők régóta úgy vélik, hogy végtelen számú ikerprím létezhet, igazolni azonban mindeddig nem sikerült a sejtést. 1849-ben egy francia matematikus, bizonyos Alphonse de Polignac egy lépéssel továbbment, és felvetette annak ötletét, hogy ez nem csak az egymástól kettővel különböző ikerprímekre igaz, de bármiféle véges különbséget véve az adott párosokból végtelen számú létezhet. (Például a 4-es különbségű párosokból is: 7, 11; 13, 17; 19, 23; 37,41 stb.)

A felvetésnek semmiféle ismert gyakorlati hasznosítási lehetősége nincs, ez azonban nem akadályozta meg a matematikusokat abban, hogy a sejtés igazolásával próbálkozzanak, eddig sikertelenül. Csang eredménye azonban jelentős áttörést hozott, bár ez sem magát a sejtést igazolta. A szakértő azt bizonyította, hogy végtelen sok olyan prímszámpár létezik, amelyek között a különbség kevesebb mint 70 millió. Mindegy tehát hogy milyen gigantikus számok közé tévedünk, és mindegy hogy mennyire ritkák ott a prímek, fogunk olyan párosokat találni, amelyek különbsége 70 milliónál kevesebb.

2. oldal

Csang eredményének közvetlen előzményének egy nyolc évvel ezelőtt megjelent tanulmány tekinthető, amelyet Daniel Goldston (San Jose-i Állami Egyetem), Pintz János (MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet) és Cem Yıldırım (Boğaziçi Egyetem) jegyez, és amelyet a szerzők vezetékneveinek kezdőbetűi után csak GPY néven emleget a számelméleti szakma. Ez utóbbi munkában a szerzőknek még nem sikerült igazolniuk, hogy végtelen sok olyan prímpár lehet, amelyek között egy véges szám a különbség. Az viszont bizonyították, hogy mindig lesznek olyan párok, amelyek az átlagosnál (vagyis a fent kifejtett módon kiszámolt értéknél) jóval közelebb helyezkednek el egymáshoz. Ennél még pontosabban, a GPY-tanulmány azt igazolja, hogy mindig lesznek olyan prímpárok, amelyek közelebb helyezkednek el egymáshoz, mint átlagos különbségük négyzetgyöke. Azt azonban már nem tudták bizonyítani a szerzők, hogy végtelen sok lehet egy egymástól egy konkrét különbségnél kevesebbel eltérő prímszomszédokból − ezt igazolta most Csang.

A GPY-tanulmány egy úgynevezett szitálási módszert alkalmaz az egymáshoz átlagosnál közelebb elhelyezkedő prímek kiszűrésére. A szitálási eljárások egy Eratoszthenész szitája elnevezésű módszeren alapulnak, amelynek során egy egyszerű kizárásos algoritmussal megállapítható, hogy melyek a prímszámok egy adott számig. Ha 120-ig akarjuk összeszedni a prímeket, az alábbi ábrán látható módon kiválasztjuk a kettőt, majd ennek kivételével kihúzunk a táblázatból minden kettővel osztható számot. A következő lépésben ugyanezt tesszük a hárommal oszthatóakkal, majd mivel a négy már ki van húzva, továbblépünk az ötre, és így tovább. Azok a számok, amelyek „túlélik” a kihúzogatást, lesznek az általunk keresett prímek.

Ez a módszer tökéletes a prímek fellelésére, de nagyon is hosszadalmas és kevéssé hatékony az elméleti kérdések megválaszolásához. Az elmúlt száz év során így másfajta szitálási módszereket is kifejlesztettek a számelmélet szakértői, amelyek pontatlanabbak ugyan Eratoszthenész szitájánál, de jóval alkalmasabbak a teoretikus kérdések megoldására. A GPY-tanulmányban egy olyan szitát használnak a szerzők, amely lehetséges prímpárosokat, vagyis potenciális szomszédos prímeket szűr ki, majd egy erre épülő újabb funkció kiválogatja az eredmények közül azokat, amelyek ténylegesen prímek. Így sikerült igazolni a korábban már említett eredményeket, egyetlen konkrét, maximális különbséget azonban már nem tudtak bizonyítani.

Csang tehát ilyen előzményekkel vágott neki a problémának, méghozzá úgy, hogy a számelmélet nem is tartozott szorosabban vett szakterületei közé. A Purdue Egyetemen végzett kínai bevándorlónak először nem sikerült ugyan matematikai területen elhelyezkednie doktorálása után, ennek ellenére tovább elmélkedett a probléma lehetséges megoldásain. „A karrier tényleges alakulását nagyon sok dolog befolyásolhatja, a legfontosabb azonban, hogy folytatni kell a problémákon való gondolkodást” – mondja Csang, aki a terület neves szakértőivel való bármiféle konzultáció nélkül vetette bele magát a sejtés igazolásába. Háromévnyi munka után majdnem feladta, mert nem jutott semerre, de aztán egy coloradói nyaralás során új ötlete támadt: úgy módosította a GPY-tanulmányban használt szitát, hogy az nem minden számra szűrt, hanem csak azokra, amelyeknek nincsenek nagy prím osztóik. Csang szitája kevésbé pontos, mint elődje, ugyanakkor a változtatás révén pont annyira vált flexibilissé, ami az eredmények eléréséhez kellett, magyarázza Goldstone.

Csang ilyen módon igazolni tudta, hogy végtelen sok olyan prímpár létezik, amelyek különbsége kisebb, mint 70 millió. Elméletileg innen már csak pár lépés lenne azt igazolni, hogy végtelen sok olyan prímpáros van, amelyek különbsége kettő, valószínűtlennek tűnik azonban, hogy ezt Csang módszerével sikerül bizonyítani. Goldstone és Pintz magyarázata szerint ezzel a fajta szitával különféle okok miatt legfeljebb azt lehet bizonyítani, hogy végtelen sok 16-nál kisebb különbségű prímpár létezik, vagyis az ikerprím-sejtés tényleges igazolása a biztató jelek ellenére még nagyon is távol lehet.

Csang munkája ennek ellenére óriási jelentőségű, és a szerzőt magát is meglepte, hogy milyen gyorsan felpörögtek az események. A kutató egyébként meglehetősen visszahúzódónak tartja magát, és nem zavarja, hogy mindeddig nem nagyon jutott neki elismerés. Szeret nyugalomban, önállóan dolgozni, és már bele is kezdett legújabb projektjébe, amelyről azonban egyelőre nem volt hajlandó részleteket elárulni.

Tesztek

{{ i }}
arrow_backward arrow_forward
{{ content.commentCount }}

{{ content.title }}

{{ content.lead }}
{{ content.rate }} %
{{ content.title }}
{{ totalTranslation }}
{{ orderNumber }}
{{ showMoreLabelTranslation }}
A komment írásához előbb jelentkezz be!
Még nem érkeztek hozzászólások ehhez a cikkhez!
Segíts másoknak, mond el mit gondolsz a cikkről.
{{ showMoreCountLabel }}

Kapcsolódó cikkek

Magazin címlap arrow_forward