Két kecske, egy autó és a világ legokosabb nője

A Monty Hall-paradoxon régóta tárgya a tudományos vitáknak, sosem okozott azonban akkora botrányt, mint 1990-ben, amikor Marilyn vos Savant megválaszolta azt.

Két kecske, egy autó és a világ legokosabb nője

1. oldal

Képzeljük el, hogy egy televíziós vetélkedőn veszünk részt, és a műsor házigazdája három zárt ajtó elé állít minket. Az egyik mögött egy gyönyörű, vadiúj autó található, a másik kettő mögött pedig egy-egy kecske. Kiválasztunk egy ajtót, majd a házigazda, aki pontosan tudja, hogy melyik ajtó mit rejt, kinyit egyet a három közül, mégpedig az egyik kecskés helyiség ajtaját. Ezt követően felteszi a kérdést: „Kitart eredeti döntése mellett, vagy szeretné a másik ajtót választani?”

Statisztikailag mivel kerülünk közelebb az autó megnyeréséhez: ha maradunk az elsőre kiválasztott ajtónál, vagy ha nem? Elsőre legtöbbünk arra a következtetésre jutna, hogy igazából mindegy, melyik verzió mellett döntünk, hiszen mindenképp 50−50 százalék esélyünk van a nyerésre − feltéve persze, ha a kocsira hajtunk, és nem könyveljük el győzelemként az egyik kecske hazavitelét is.

A probléma Let's Make a Deal (Kössünk üzletet) című amerikai televíziós vetélkedő által vált széles körben ismertté, és a játék műsorvezetőjéről a Monty Hall-paradoxon nevet kapta. A valószínűségi paradoxon egyszerűsége ellenére rendre kifogott a világ legnagyobb elméin is, és évtizedekig parázs viták forrása volt az osztálytermekben és a szakmai konferenciákon.

Nem ez volt azonban az első hasonló jellegű probléma az emberiség történelmében, de még az elmúlt másfél évszázadban sem. Joseph Bertrand például 1889-ben állt elő egy hasonló feladvánnyal. Ennek során a játékosnak három doboz közül kell választania: az egyikben két arany érme van, a másikban két ezüst, a harmadikban pedig egy arany és egy ezüst. A kérdés az volt, hogy amennyiben a játékos az egyik dobozt kiválasztva abból egy arany érmét húz elő, mennyi a valószínűsége annak, hogy a doboz másik érméje is arany lesz. Bertrand megállapította, hogy az esély 2/3, és jelentős szakmai elismerésben volt része annak nyugtázásaként, hogy képes volt túllépni az egyértelműnek tűnő válaszon, és megtalálni a helyes megoldást.

A második hasonló paradoxon az 1959-es három rab problémája, amelynek lényege, hogy három halálraítélt közül egy kegyelmet kap, a börtönőr viszont nem árulja el nekik, hogy melyikük az. Az egyik rab kérésére az őr rámutat egy rabtársára, mondván, hogy őt biztosan kivégzik. A kérdés az, hogy hogyan változtak meg a bizonytalanságban levő rabok túlélési esélyei. „Csodálatosan összezavaró kis probléma ez” – írtaannak idején Martin Gardner, a feladvány kiötlője. „Egyetlen más terület sem létezik a matematikában, ahol olyan könnyű csőbe húzni a szakértőket, mint a valószínűségszámításban.”

A Monty Hall-paradoxon sem tévés vetélkedő formájában látta meg a napvilágot, hanem egy 1975-ös levélben, amelyet az American Statistician című folyóirat szerkesztőjének írt a Kaliforniai Egyetem professzora, Steve Selvin. Selvin a feladványhoz mellékelt soraiban kifejti, hogy a bevezetőben felvázolt probléma esetén a játékos jobban jár, ha megváltoztatja eredeti döntését, hiszen ezzel 2/3-ra növeli nyerési esélyeit, míg az eredeti ajtónál maradva csak 1/3 esélye lesz az autóra.

A következő másfél évtized során a feladvány időről időre felbukkant ugyan a szaklapok oldalain, de összességében nem keltett nagy feltűnést. Ez egészen addig tartott, amíg valaki 1990 szeptemberében fel nem tette a kérdést Marilyn vos Savantnak, a Parade Magazine egyik rovatvezetőjének.

Az említett hölgy 1946-ban született, és már kora gyermekkorában kiderült, hogy igazi zseni, aki hihetetlen érzékkel oldja meg a matematikai és egyéb tudományos problémákat. Vos Savant 10 éves volt, amikor két különböző teszttel lemérték intelligenciaszintjét, és eredményeivel később bekerült a Guinness Rekordok Könyvébe, mint a világ legmagasabb intelligenciahányadossal rendelkező embere. Ez annál is érdekesebb, mert vos Savant egész életében feleslegesnek, megbízhatatlannak és haszontalannak ítélte az intelligenciateszteket.

A nyolcvanas évek közepén vos Savant New Yorkba költözött, hogy írói karrierbe kezdjen. A Parade Magazine ezzel egy időben egy riportban mutatta be a világ legokosabb nőjét, és annyi olvasói levél érkezett a cikk megjelenése után, hogy az újság teljes állásban kezdte alkalmazni vos Savantot. Röviddel ezután saját rovatot is adtak neki: a hetente egyszer megjelenő Ask Marilyn, azaz Kérdezd Marylint című rovatban vos Savant az olvasók által feltett tudományos és logikai kérdésekre válaszol mind a mai napig.

Amikor 1990 szeptemberében egy olvasói levélben a Monty Hall-paradoxon megoldását firtatta a beküldő, vos Savant szokásos udvarias stílusában azt válaszolta a lap hasábjain, hogy a játékos jobban jár, ha változtat döntésén, mivel ezzel esélyeit 2/3-ra növeli. A rovatvezető ekkor még nem tudhatta, hogy minden idők egyik legnagyobb szakmai vitáját robbantja ki, amelynek során neves tudósok illetik majd a legkevésbé hízelgő jelzőkkel. A válasz megjelenése után vos Savant több mint 10 ezer levelet kapott, jelentős részüket nagynevű kutatóktól, akik nagy része egyszerűen lehülyézte őt, illetve alapfokú statisztikai tankönyveket javasolt számára, hogy egy kicsit kiművelje magát a témában.

2. oldal

Vos Savant a reakciókra válaszul további három cikket szentelt arra, hogy elmagyarázza válaszának logikáját, akadtak azonban, akiket még ez sem győzött meg. Egyik olvasója egy évvel később ezt írta neki: „Továbbra is úgy gondolom, hogy nincs igaza. Ez csak valamiféle női logika alapján lehet helyes.”

Vos Savantnak viszont nagyon is igaza volt. Elsőre valóban azt hihetnénk, hogy a házigazda ajtóválasztása után a maradék két ajtó közül 1/2-es valószínűséggel választjuk ki az autót. Ez azonban nem így van. Ha minden lehetséges végkimenetelt végigzongorázunk, világossá válik, hogy az eredeti döntés megváltoztatása az esetek kétharmadában produkál győzelmet, míg ha maradunk az elsőként kiválasztott ajtó mellett, csak az esetek egyharmadában nyerünk.

A játék lehetséges kimenetelei, abban az esetben, ha a játékos először az 1. ajtót választja (ha a 2. vagy a 3. mellett dönt, ugyanezek az opciók és eredmények állnak fent, vagyis az arányok nem fognak változni)

A helyzet ugyanis úgy áll, hogy az első választásnál egyharmados eséllyel választotta ki a játékos az autót, és kétharmados esélye van arra, hogy az általa preferált ajtó egy kecskét rejt. Statisztikailag tehát úgy jár jobban, ha feltételezi, hogy egy kecskét választott először, és mivel ebben az esetben a műsorvezető kilőtte a másik lehetséges ajtót, amely kecskét rejthet, változtatásával jó esélye nyílik az autó megnyerésére.

Még könnyebb követni a logikát, ha elképzeljük, hogy három ajtó helyett száz ajtóval találjuk magunkat szemben, és ezek közül 99 mögött kecskék vannak. Ha kiválasztjuk az első számú ajtót, 1/100 az esélye annak, hogy az autót találtuk meg. Ha Monty Hall a következő lépésben kinyit 98 olyan ajtót, amely kecskét rejt, hogyan döntünk? Kitartunk az első ajtó mellett, vagy a megmaradt másikat választjuk?

Amikor megtettük első választásunkat 99/100 volt az esélye annak, hogy az autó egy másik ajtó mögött rejtőzik. Monty Hall ajtónyitásai ezt nem változtatják meg, hanem ezt az esélyt az egyetlen általa meghagyott, és általunk nem választott ajtóra helyezik át, az addigi „széttördelt” esélyek helyett. Vagyis, ha változtatunk eredeti döntésünkön, 1/100 helyett 99/100 lesz az esélyünk az autó megnyerésére.

A matematikailag helyes válasz ugyanakkor nem fedi teljes mértékben azt a helyzetet, amellyel a játékos a műsorban szembesül. 1992-ben, amikor még javában zajlott a vos Savant válasza nyomán kirobbant botrány, Monty Hall, a játék házigazdája interjút adott a New York Timesnak. Ennek során tisztázta, hogy a valóságban nem egészen úgy zajlanak a dolgok, ahogy a Parade olvasója felvázolta levelében, és ahogy a cikk elején is megfogalmazódott a probléma. A tényleges műsorban ugyanis Hallnak jogában állt pénzjutalmat ajánlani a játékosnak annak érdekében, hogy az ne változtasson első döntésén.

Miután kinyílt az első kecskés ajtó, a játékosok azt hitték, hogy esélyeik 1/3-ról ½-re nőttek, így nem nagyon akarták feladni az eredeti ajtót, magyarázta el Hall. A műsorvezető ezért pénzt kezdett ajánlani azért, hogy ne váltsanak, ebből viszont a játékosok arra következtettek, hogy a másik ajtó mögött van az autó. Ez a házigazda által pszichológiai faktornak nevezett összetevő pedig alapvetően befolyásolta a játékosok döntését.

A Monty Hall-paradoxon és annak története egyébként is meglehetősen terhelt pszichológiailag, hiszen az ideillő szakkifejezéssel élve kognitív disszonanciát okoz a játékosnak, ami akkor áll fönn, ha az egyén két vagy több egymásnak ellentmondó ténnyel, logikával vagy értékrenddel szembesül, vagy olyan új információt kap, amely ellentmond addigi világnézetének, gondolkodásának. Ilyen esetekben az első reakció a zavart okozó információ visszautasítása, és a saját nézet megerősítése. Pontosan ilyen reakciók állnak a vos Savantnak címzett levéltömeg mögött: amikor az olvasók szembesültek logikájuk helytelen voltával, egyszerűen kiiktatták az újságírót a képből, azzal az érvvel, hogy nem is ért a kérdéshez.

25 évvel a történtek után a Monty Hall-paradoxonnal kapcsolatban továbbra is sok a kérdés, bár ezek többsége immár a játékvezető szerepére irányul. „Agyunk egyszerűen nem úgy van huzalozva, hogy könnyen megküzdjön a valószínűségi problémákkal” – fogalmazta meg Pers Diaconis, a Stanford statisztika professzora évekkel ezelőtt. A szakértő szerint a problémával kapcsolatban az a legnagyobb kérdés, hogy milyen célok mozgatják a játékvezetőt.

Vos Savant magyarázata azóta iskolai tananyag lett, az őt leghevesebben támadó szakmabeliek többsége pedig bocsánatot kért az újságírótól. Az olvasókat is egészen jó arányban sikerült meggyőzni, hiszen míg az első válasz után csak 8 százalékuk gondolta úgy, hogy vos Savant logikája helyes, ez a szám 1992 végére 56 százalékra duzzadt. Tudományos körökben ugyanezen időszak alatt 35 százalékról 71-re nőtt az újságíró által „megtérítettek” aránya.

Tesztek

{{ i }}
arrow_backward arrow_forward
{{ content.commentCount }}

{{ content.title }}

{{ content.lead }}
{{ content.rate }} %
{{ content.title }}
{{ totalTranslation }}
{{ orderNumber }}
{{ showMoreLabelTranslation }}
A komment írásához előbb jelentkezz be!
Még nem érkeztek hozzászólások ehhez a cikkhez!
Segíts másoknak, mond el mit gondolsz a cikkről.
{{ showMoreCountLabel }}

Kapcsolódó cikkek

Magazin címlap arrow_forward